Atvirkštinio sujungimo dariniai (atvirkštinių trigubų funkcijų išvestiniai)

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės. Turime 6 atvirkštines trigonometrines funkcijas, kurios yra atvirkštinės 6 pagrindinių trigonometrinių funkcijų. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos apibrėžiamos tik atvirkštinių trigonometrinių funkcijų srityje, kurios nurodytos taip:

Išmoksime atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinius su išsamiu įrodymu. Taip pat išspręskime keletą problemų, susijusių su atvirkštinio trigo išvestinėmis išvestinėmis.

Kas yra atvirkštinės trigubos dariniai?

Atvirkštinės trigo išvestinės yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų arcsin (arba sin -1 ), arccos (arba cos -1 ), arctan (arba tan -1 ) ir tt išvestinės. Norėdami rasti atvirkštinio trigo išvestis, naudojame numanomą diferenciaciją. funkcija, kurią mes išsamiai išnagrinėsime būsimame skyriuje. Štai atvirkštinės trigubos išvestinės:

Archsin x išvestinė yra d/dx(arcsin x) = 1/√ 1-x² , kai -1 < x < 1

Arccos x išvestinė yra d/dx(arccos x) = -1/√ 1-x² , kai -1 < x < 1

Arktano x išvestinė yra d/dx(arctan x) = 1/(1+x²), visiems x esant R

Arccsc x išvestinė yra d/dx(arccsc x) = -1/(|x|√ x²-1 ), kai x < -1 arba x > 1

Archsec x išvestinė yra d/dx(arcsec x) = 1/(|x|√ x²-1 ), kai x < -1 arba x > 1

Arccot x išvestinė yra d/dx(arccot x) = -1/(1+x²), visiems x esant R

Atvirkštinių trigubų funkcijų dariniai

Žinome, kad kita atvirkštinės trigo funkcijos rašymo forma, tarkime, arcsin x, yra sin -1 x. Atvirkštinių trigubų funkcijų išvestinės gali būti parašytos alternatyvia žyma taip:

d/dx (sin -1 x) = 1/√ 1-x²

d/dx(cos -1 x) = -1/√ 1-x²

d/dx (gelsvai rudas -1 x) = 1/(1+x²)

d/dx(csc -1 x) = -1/(|x|√ x²-1 )

d/dx(sek -1 x) = 1/(|x|√ x²-1 )

d/dx (lovytė -1 x) = -1/(1+x²)

Išveskime kiekvieną iš šių išvestinių formulių.

Atvirkštiniai trigubų išvestiniai įrodymai

Ankstesniame skyriuje jau matėme atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinių formules. Jei atidžiai juos stebėsime, išvestinėse nėra nei trigonometrinių, nei atvirkštinių trigonometrinių funkcijų. Atvirkščiai, jie apima kvadratus ir kvadratines šaknis. Taigi sunku jas įsiminti, nebent žinome, kaip gaunamos šios formulės. Mes naudojame netiesioginio diferenciacijos procesą (tai yra grandinės taisyklės naudojimo procesas, kai funkcijos yra netiesiogiai apibrėžtos), kad gautume atvirkštines trigo išvestines.

Arcsino vedinys

Norėdami rasti arcsin x išvestinę, tarkime, kad y = arcsin x. Tada pagal atvirkštinio sinuso apibrėžimą sin y = x. Atskiriant abi puses x atžvilgiu,

cos y (dy/dx) = 1

dy/dx = 1/cos y… (1)

Pagal vieną iš trigonometrinių tapatybių sin 2 y + cos 2 = √ 1-x² .

dy/dx = 1/√ 1-x² (arba)

d (arksinas x) / dx = 1/√ 1-x²

Taigi arcsin x (arba) sin -1 x (arba) atvirkštinės sin x išvestinė yra 1/√ 1-x² .

Arccos vedinys

Norėdami rasti arccos x išvestinę, tarkime, kad y = arccos x. Tada pagal atvirkštinio cos apibrėžimą, cos y = x. Atskiriant abi puses x atžvilgiu,

-sin y (dy/dx) = 1

dy/dx = 1/(-sin y) = -1/sin y… (1)

Pagal vieną iš trigonometrinių tapatybių sin 2 y + cos 2 y = 1. Iš to sin y = √ 1-cos²y = √ 1-x² .

dy/dx = -1/√ 1-x² (arba)

d (arccos x) / dx = 1/√ 1-x²

Taigi arccos x (arba) cos -1 x (arba) atvirkštinė cos x išvestinė yra 1/√ 1-x² .

Arktano vedinys

Norėdami rasti arctan x išvestinę, tarkime, kad y = arctan x. Tada pagal atvirkštinio įdegio apibrėžimą tan y = x. Atskiriant abi puses x atžvilgiu,

sek. 2 y (dy/dx) = 1

dy/dx = 1/(sek. 2 m.) … (1)

dy/dx = 1 / (1 + x 2) (arba)

d (arktanas x) / dx = 1 / (1 + x 2)

Taigi arctano x (arba) tan -1 x (arba) atvirkštinio tan x išvestinė yra 1 / (1 + x 2 ).

Arccsc vedinys

Norėdami rasti arcccsc x išvestinę, tarkime, kad y = arcccsc x. Tada pagal atvirkštinės kosekantės apibrėžimą csc y = x. Atskiriant abi puses x atžvilgiu,

-csc y vaikiška lovelė y (dy/dx) = 1

dy/dx = -1/(csc y cot y) … (1)

Be to, mes turime csc y = x.

dy/dx = -1/(|x|√ x²-1 )(arba)

d (arccsc x) / dx = -1/(|x|√ x²-1 ).

Čia mes parašėme absoliučios vertės ženklą aplink x, o ne tik x, nes jei stebime csc -1 x grafiką, šios kreivės liestinės nuolydis visada yra neigiamas. Taigi csc -1 x išvestinė visada turi būti neigiama, nepaisant x ženklo. Štai kodėl absoliučios vertės ženklą visada rašome aplink x.

Taigi arccsc x (arba) csc -1 x (arba) atvirkštinė csc x išvestinė yra -1/(|x|√ x²-1 ).

Arcsec vedinys

Norėdami rasti arcsec x išvestinę, tarkime, kad y = arcsec x. Tada pagal atvirkštinės kosekantės apibrėžimą, sek y = x. Atskiriant abi puses x atžvilgiu,

sek. tan y (dy/dx) = 1

dy/dx = 1/(sec y tan y) … (1)

2 2 2 2 2 x²-1 .

Be to, turime sek y = x.

dy/dx = 1/(|x|√ x²-1 ) (arba)

d (arcsec x) / dx = 1/(|x|√ x²-1 ).

Čia taip pat naudojome absoliučios vertės ženklą, nes sek -1 x grafikas visada turi liestinių su teigiamais nuolydžiais, todėl išvestinės x ženklas neturėtų būti paveiktas.

Taigi arcsec x (arba) sek -1 x (arba) atvirkštinė sek x išvestinė yra 1/(|x|√ x²-1 ).

Arccot vedinys

Norėdami rasti arccot x išvestinę, tarkime, kad y = arccot x. Tada pagal atvirkštinės lovos apibrėžimą, vaikiška lovelė y = x. Atskiriant abi puses x atžvilgiu,

-csc 2 y (dy/dx) = 1

dy/dx = -1/(csc 2 y) … (1)

2 2 2 2 2 .

Pakeitus tai į (1),

dy/dx = -1 / (1 + x 2) (arba)

d (arko x) / dx = -1 / (1 + x 2)

Taigi arccot x (arba) cot -1 x (arba) atvirkštinė cot x išvestinė yra -1 / (1 + x 2 ).

Atvirkštinės trigubos išvestinės ir integralai

Čia yra lentelė su atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinėmis ir integralais. Tai padės apibendrinti ir įsiminti skirtumą tarp atvirkštinių trigubų funkcijų išvestinių ir integralų.