Kaip Ištraukti Šaknį?

Anksčiau, kai dar nebuvo skaičiuotuvų, studentai ir profesoriai turėjo rankiniu būdu apskaičiuoti kvadratines šaknis. Sukurta keletas skirtingų metodų, padedančių įveikti šį bauginantį procesą, pateikia apytikslį galutinį skaičių, kiti – tikslų. Norėdami sužinoti, kaip rasti skaičiaus kvadratinę šaknį naudojant tik paprastus metodus, skaitykite toliau.

Faktorizacijos metodo naudojimas:

Pirma:

  • Padalinkite savo skaičių į kvadratinius koeficientus, kuriuos sudauginus, gautųsi jūsų skaičius.
  • Tobuli kvadratiniai koeficientai yra skaičiai, kurie taip pat yra tobuli kvadratai.
  • Norėdami rasti kvadratinę šaknį naudodami pagrindinį koeficientą, pirmiausia pabandykite sumažinti savo skaičių iki tobulų kvadratinių koeficientų.

Pavyzdys: jei norite ranka rasti kvadratinę šaknį iš 400, skaičių padalinkite į tobulus kvadratinius koeficientus. Kadangi 400 yra 100 kartotinis, žinome, kad jis tolygiai dalijasi iš 25, kuris yra tobulas kvadratas. Mes žinome, kad 25 įeina į 400 16 kartų. 16, atsitiktinai, taip pat yra tobulas kvadratas. Taigi tobuli kvadratiniai koeficientai 400 yra 25 ir 16, nes 25 × 16 = 400. Tai parašytume taip: 400 = 25 × 16.

Antra:

  • Ištraukite savo tobulų kvadratinių skaičių kvadratines šaknis. 
  • Kvadratinių šaknų sandaugos savybė teigia, kad bet kokiems nurodytiems skaičiams a ir b, galioja ši formulė: a × b = a × b.
  • Dėl šios savybės dabar galime paimti tobulų kvadratinių veiksnių kvadratines šaknis ir jas padauginti, kad gautume atsakymą.

Pavyzdys: paimame kvadratines šaknis iš 25 ir 16, užrašome šitaip 25 × 16, tada 25 × 16. Galiausiai 5 × 4 = 20

Trečia:

  • Realiame gyvenime skaičiai, iš kurių turėsite ištraukti kvadratines šaknis, dažniausiai nebus gražūs apvalūs skaičiai su akivaizdžiais tobulais kvadratiniais koeficientais, pvz., toks kaip 400. 
  • Tokiais atvejais gali būti neįmanoma rasti tikslaus atsakymo, kuris bus tik sveikasis skaičius. 
  • Vietoj to, suradę bet kokius tobulus kvadratinius skaičius, galite rasti atsakymą į mažesnę, paprastesnę kvadratinę šaknį, o norėdami tai padaryti, sumažinkite skaičių iki tobulų kvadratinių koeficientų ir netobulos kvadratinės šaknies koeficiento derinio.

Pavyzdys: ištraukime 147 kvadratinę šaknį. 147 nėra dviejų tobulų kvadratų sandauga, todėl negalime gauti tikslios sveikojo skaičiaus vertės, kaip nurodyta aukščiau, tačiau tai yra vieno tobulo kvadrato – 49 ir kito skaičiaus – 3 sandauga. Atsakymą rašytume šitaip: 147 = 49×3. Tada 49 × 3 = 7 × 3.

Ketvirta:

  • Naudojant paprasčiausią kvadratinę šaknį, paprastai gana lengva gauti apytikslį skaitmeninį atsakymą, atspėjant likusių kvadratinių šaknų vertę ir padauginus.
  • Vienas iš būdų apskaičiuoti yra rasti tobulus kvadratus abiejose kvadratinės šaknies skaičiaus pusėse. 
  • Jūs žinosite, kad skaičiaus dešimtainė vertė jūsų kvadratinėje šaknyje yra kažkur tarp šių dviejų skaičių, todėl galėsite atspėti tarp jų.

Pavyzdys: 35 gali būti tarp 5–6 (tikriausiai labai arti 6). 35 yra tarp 25 ir 36, todėl jo kvadratinė šaknis turi būti nuo 5 iki 6. Kadangi 35 yra tik vienas skaitmuo nuo 36, galime užtikrintai teigti, kad jo kvadratinė šaknis yra tikrai mažesnė nei 6. Patikrinus skaičiuotuvu gauname maždaug 5,92 atsakymą.

Penkta:

  • Pirmiausia sumažinkite skaičių iki mažiausių bendrų skaičių. 
  • Nebūtina rasti tobulų kvadratinių koeficientų, jei galite lengvai nustatyti pagrindinius skaičius, kurie taip pat yra pirminiai skaičiai. 
  • Parašykite savo skaičių pagal mažiausius bendrus veiksnius. 
  • Tada tarp skaičių ieškokite sutampančių pirminių skaičių porų. 
  • Radę du pagrindinius skaičius, kurie sutampa, pašalinkite abu šiuos skaičius iš kvadratinės šaknies ir vieną iš šių skaičių padėkite už kvadratinės šaknies.

Pavyzdys: šiuo metodu suraskime kvadratinę šaknį iš 45. Mes žinome, kad 45 = 9 × 5, ir žinome, kad 9 = 3 × 3. Taigi, mes galime parašyti savo kvadratinę šaknį taip: 3 × 3 × 5. Tiesiog nuimkite 3 ir padėkite vieną 3 už kvadratinės šaknies, kad gautumėte kvadratinę šaknį: 3 5.

Kvadratinių šaknų paieška rankiniu būdu, naudojant ilgo padalijimo algoritmą:

Pirmas žingsnis:

  • Suskirstykite skaičiaus skaitmenis į poras. 
  • Šis metodas naudoja procesą, panašų į ilgą padalijimą, kad būtų surastas tikslus kvadratinės šaknies skaitmuo po skaitmens. 
  • Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, atskiriančią jūsų darbo lapą į dvi dalis, tada nubrėžkite trumpesnę horizontalią liniją šalia dešinės sekcijos viršaus, kad dešinė dalis būtų padalinta į mažą viršutinę ir didesnę apatinę. 
  • Tada padalinkite savo skaičiaus skaitmenis į poras, pradedant nuo kablelio.
  • Parašykite savo numerį kairėjė pusėje viršuje.

Pavyzdys: pabandykime paskaičiuoti 780,14 kvadratinę šaknį. Nubrėžkite dvi eilutes, kad padalintumėte savo darbo lapą, kaip nurodyta aukščiau, ir kairės vietos viršuje parašykite „7 80. 14“. Viskas gerai, kad kairioji dalis yra vienišas skaičius, o ne skaičių pora.

Antras žingsnis:

  • Raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus kairiausiam skaičiui (arba porai). 
  • Pradėkite nuo kairiausio savo skaičiaus „gabalo“, nesvarbu, ar tai yra pora, ar vienas skaičius. 
  • Raskite didžiausią tobulą kvadratą, kuris yra mažesnis arba lygus šiam “gabalui”, tada ištraukite šio tobulo kvadrato kvadratinę šaknį. Šis skaičius yra n. Viršutiniame dešiniajame laukelyje parašykite n, o apatiniame dešiniajame laukelyje – n kvadratą.

Pavyzdys: kairiausias „gabalas“ yra skaičius 7. Galima pasakyti, kad n = 2, nes tai yra didžiausias sveikasis skaičius, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus 7. Viršutiniame dešiniajame laukelyje parašykite 2. Tai yra pirmasis mūsų atsakymo skaitmuo. Apatiniame dešiniajame laukelyje parašykite 4 (2 kvadratą). Šis skaičius bus svarbus kitame žingsnyje.

Trečias žingsnis:

  • Iš kairės poros atimkite ką tik apskaičiuotą skaičių. 
  • Parašykite šį skaičių po pirmąja dalimi ir atimkite, o po to parašykite savo atsakymą.

Pavyzdys: mes parašysime 4 žemiau 7, tada atimsime ir gausime tokį atsakymą: 3.

Ketvirtas žingsnis:

  • Šalia ką tik rastos atimtos vertės parašykite žemiau kitą skaičių porą, kurios kvadratinės šaknies ieškote. 
  • Tada padauginkite skaičių viršutiniame dešiniajame laukelyje iš dviejų ir parašykite jį apatiniame dešiniajame laukelyje. 
  • Šalia skaičiaus, kurį ką tik užsirašėte, palikite vietos daugybos užduočiai, kurią atliksite atlikdami kitą veiksmą “_ × _ =”.

Pavyzdys: kita mūsų skaičiaus pora yra 80. Rašykite 80 šalia 3 kairiajame laukelyje. Tada padauginkite skaičių viršuje dešinėje iš dviejų. Šis skaičius yra 2, taigi 2 × 2 = 4. Apatiniame dešiniajame laukelyje įrašykite 4, po to – “_ × _ =”.

Penktas žingsnis:

  • Užpildykite tuščias vietas dešiniajame laukelyje tinkamu tuo pačiu sveiku skaičiumi. 
  • Šis sveikasis skaičius turi būti didžiausias sveikasis skaičius, kuris leidžia, kad rezultatas būtų mažesnis arba lygus dabartiniam skaičiui kairėje, kai padauginta iš dešiniojo laukelio.

Pavyzdys: užpildžius tuščias vietas skaičiumi 8, gauname 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Tai yra daugiau nei 380, todėl 8 yra per didelis, bet 7 tikriausiai tiks. Tuščiuose laukeliuose parašykite 7 ir išspręskite: 4 (7) × 7 = 329. 7 tinka, nes 329 yra mažesnis nei 380. Viršutiniame dešiniajame kvadrante parašykite 7. Tai yra antrasis skaitmuo 780,14 kvadratinėje šaknyje.

Šeštas žingsnis:

  • Atimkite ką tik apskaičiuotą skaičių iš dabartinio skaičiaus kairėje. 
  • Paimkite daugybos uždavinio rezultatą dešiniajame laukelyje ir atimkite jį iš dabartinio skaičiaus kairėje, parašydami savo atsakymą žemiau.

Pavyzdys: iš 380 atimame 329 ir gauname 51.

Septintas žingsnis:

  • Dabar pakartokite 4 veiksmą ir nuleiskite likusią skaičiaus dalį. 
  • Tada padauginkite skaičių viršuje dešinėje iš 2 ir parašykite jį šalia tuščio daugybos uždavinio („_ × _“), kaip nurodyta aukščiau.

Pavyzdys: kadangi dabar mes susiduriame su dešimtainiu skaičiumi 780.14, po dabartinio atsakymo viršuje dešinėje parašykite kablelį. Tada nuleiskite kitą skaičių porą (14) kairiajame laukelyje. 27 x 2 yra 54, todėl apatiniame dešiniajame kvadrante parašykite „54 _ × _ =“.

Aštuntas žingsnis:

  • Dabar pakartokite 5 ir 6 veiksmus ir užpildykite tuščias vietas dešiniajame laukelyje tinkamu tuo pačiu sveiku skaičiumi. 
  • Šis sveikasis skaičius turi būti didžiausias sveikasis skaičius, kuris leidžia, kad rezultatas būtų mažesnis arba lygus dabartiniam skaičiui kairėje, kai padauginta iš dešiniojo laukelio.
  • Atimkite ką tik apskaičiuotą skaičių iš dabartinio skaičiaus kairėje. 
  • Paimkite daugybos uždavinio rezultatą dešiniajame laukelyje ir atimkite jį iš dabartinio skaičiaus kairėje, parašydami savo atsakymą žemiau.

Pavyzdys: 549 × 9 = 4941, kuris yra mažesnis arba lygus skaičiui kairėje 5114. 549 × 10 = 5490, kuris yra per didelis, todėl 9 yra mūsų atsakymas. Viršutiniame dešiniajame laukelyje parašykite 9 kaip kitą skaitmenį ir iš skaičiaus kairėje atimkite daugybos rezultatą: 5114 atėmus 4941 yra 173.

Devintas žingsnis:

  • Toliau skaičiuokite skaitmenis ir nuleiskite porą nulių kairėje ir pakartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. 
  • Jei norite didesnio tikslumo, kartokite šį procesą ir suraskite savo atsakymo šimtąją, tūkstantąją ir tt dalis. 
  • Tęskite šį ciklą, kol rasite atsakymą iki norimos dešimtainės tikslumo.

Proceso supratimas:

1.

  • Apsvarstykite skaičių, kurio kvadratinę šaknį skaičiuojate, kaip kvadrato S plotą.
  • Kadangi kvadrato plotas yra L kvadratu, kur L yra vienos jo kraštinės ilgis, todėl, bandydami rasti savo skaičiaus kvadratinę šaknį, bandote apskaičiuoti to kvadrato kraštinės ilgį L.

2.

  • Kiekvienam atsakymo skaitmeniui nurodykite raidžių kintamuosius. 
  • Priskirkite kintamąjį A kaip pirmąjį L skaitmenį (kvadratinę šaknį, kurią bandome apskaičiuoti). 
  • B bus jo antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

3.

  • Nurodykite raidžių kintamuosius kiekvienam pradinio skaičiaus „gabalui“.
  • Priskirkite kintamąjį “Sa” pirmąją S skaitmenų porą (jūsų pradinė vertė), “Sb” – antrąją skaičių porą ir tt.

4.

  • Šis kvadratinės šaknies paieškos metodas iš esmės yra ilgo padalijimo procesas,
  • Kaip ir ilgo padalijimo procesas, kai jus domina tik vienas kitas skaitmuo vienu metu, čia jus domina kiti du skaitmenys vienu metu (kurie atitinka kitą skaitmenį vienu metu).

5.

  • Raskite didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus “Sa”.
  • Pirmasis mūsų atsakymo skaitmuo A yra didžiausias sveikasis skaičius, kuriame kvadratas neviršija “Sa” (reiškia A, kad A² ≤ Sa <(A+1) ²). 
  • Pavyzdyje” Sa = 7 ir 2² ≤ 7 <3², taigi A = 2.

Atminkite, kad, pavyzdžiui, jei norėtumėte padalinti 88962 iš 7 per ilgą padalijimą, pirmas žingsnis būtų panašus: žiūrėtumėte į pirmąjį 88962 skaitmenį (8) ir norėtumėte didžiausio skaitmens, kurį padauginus iš 7, yra mažesnis arba lygus 8. Iš esmės jūs randate d, kad 7 × d ≤ 8 <7 × (d+1). Šiuo atveju d būtų lygus 1.

6.

  • Įsivaizduokite aikštę, kurios ploto pradedate ieškoti. 
  • Jūsų atsakymas, jūsų pradinio skaičiaus kvadratinė šaknis, yra L, kuris apibūdina kvadrato ilgį su sritimi S (jūsų pradinis skaičius). 
  • Jūsų A, B, C reikšmės reiškia L vertės skaitmenis. 
  • Kitas būdas tai pasakyti yra tai, kad dviejų skaitmenų atsakymo atveju 10A + B = L, o trijų skaitmenų-100A + 10B + C = L ir pan.

Pavyzdys: (10A + B) ² = L2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B reiškia mūsų atsakymą L, kai B yra vienetų padėtyje, o A – dešimčių padėtyje. Pavyzdžiui, kai A = 1 ir B = 2, 10A+B yra tiesiog skaičius 12. (10A+B) ² yra visos aikštės plotas, o 100A² – didžiausio kvadrato plotas, B² yra plotas mažiausias kvadratas, o 10A × B yra kiekvieno iš dviejų likusių stačiakampių plotas. Atlikdami šį ilgą, susuktą procesą, mes randame visos aikštės plotą, sudėję kvadratų ir stačiakampių plotus.

7.

  • Atimkite A² iš “Sa” ir išmeskite vieną porą (Sb) skaitmenų iš S. 
  • Sa Sb yra beveik visas kvadrato plotas, iš kurio ką tik atėmėte didesnio vidinio kvadrato plotą. 
  • Likusi dalis gali būti skaičiaus N1, kurį gavome atlikdami 4 veiksmą (mūsų pavyzdyje N1 = 380). 
  • N1 yra lygus 2 × 10A × B + B² (dviejų stačiakampių plotas plius mažo kvadrato plotas).

8.

  • Ieškokite N1 = 2 × 10A × B + B², taip pat parašyto kaip N1 = (2 × 10A + B) × B.
  • Mūsų pavyzdyje jūs jau žinote N1 (380) ir A (2), todėl turite rasti B. 
  • B greičiausiai nebus sveikasis skaičius, todėl iš tikrųjų turite rasti didžiausią sveikąjį skaičių B, kad (2 × 10A + B) × B ≤ N1. 
  • Taigi, jūs turite: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

9.

  • Norėdami išspręsti šią lygtį, padauginkite A iš 2, perkelkite jį į dešimčių padėtį (tai prilygsta padauginimui iš 10), padėkite B į vienetų padėtį ir padauginkite gautą skaičių iš B. 
  • Kitaip tariant, išspręskite (2 × 10A + B) × B. 
  • Būtent tai darote, kai 4 veiksme apatiniame dešiniajame kvadrante rašote „N_ × _ =“ (su N = 2 × A). 
  • 5 veiksme rasite didžiausią sveikąjį skaičių B, kuris tinka pabraukimui taip, kad (2 × 10A + B) × B ≤ N1.

10.

  • Iš viso ploto atimkite plotą (2 × 10A + B) × B. 
  • Taip gausite dar neapskaitytą plotą S- (10A+B) ², kuris bus naudojamas panašiai apskaičiuojant kitus skaitmenis.

11.

  • Norėdami apskaičiuoti kitą skaitmenį C, pakartokite procesą. 
  • Nuleiskite kitą porą (Sc) iš S, kad kairėje gautumėte N2, ir ieškokite didžiausio C, kad turėtumėte (2 × 10 × (10A+B)+C) × C ≤ N2 (prilygsta rašymui du kartus ženklą „AB“, po kurio eina „_ × _ =“. 
  • Ieškokite didžiausio skaitmens, kuris telpa į tuščius laukus, kuris pateikia atsakymą, mažesnį arba lygų N2, kaip ir anksčiau.